Точката като излъчване

1. Енергията в началото на кинетичен електро&магнитно лъч,
N → N dr = 2 (1/8 S dr)
    S = 4πr²
    n r = n / (λ/2); n = 1, 2...
    λ= c/f
        c, бързината на разпространение
        f, честотата на електромагнитно трептене в точка
N df = 8πf²/c³ df → N = 8πf²/c³

2. Енергията в началото на потенциална топлинно сфера,
E = ∑_i=0^∞ ihf e ^{- ihf (1 / kT)} / ∑_i=0^∞ e ^{- ihf (1 / kT)}
    f, честотата на сферично разпростиране (в застопоряване)
        h, Константата на Планк
    T, температурата (= инерцията и запълнеността) на точката
        k, Константата на Болцман
    de^x/dx = e^x
Полагане, e ^{- hf (1 / kT)} = y
E = hf [y (1 + 2y + 3y² + ...) / (1 + y + y² + ...)] =
   = hf {y [1 / (1-y)²] / [1 / (1-y)]} =
   = hf [y / (1-y)] =
   = hf / (y^-1 - 1) =
   = hf / (e ^{hf / kT} - 1)

3. Енергията в началото на излъчване,
U(f, T) = N E = (8πhf³/c³) [1 / (e ^{hf / kT} - 1)] 
(Уравнението на Планк, 1900)

4. Оптималната честота в началото на излъчване,
f(T) → dU/df = 0 (екстремум на U)
    dU/df = (8πhf² / c³) [1 / (e ^{hf / kT} - 1)²] {e ^{hf / kT} [- (hf / kT) + 3] - 3} = 0
    e ^{hf / kT} [- (hf / kT) + 3] - 3 = 0
    e ^{hf / kT} [(hf / kT) - 3] = - 3
Полагане, x = hf / kT → e^x (x - 3) = - 3
Полагане, y = x - 3 → y e^y+3 = - 3
    y e^y = - 3 e^-3 → y = W(-3e^-3), Lambert
    x = W(-3e^-3) + 3
f(Т) = (k/h) [W(-3e^-3) + 3] T