Спинор > тензор

    (какво е структурна логика)

    (I) Време и пространство

    x, y, z: стереометрични координати.

    (1) Спинорно (в спинора ***) време (t), чрез [e^(x + t)] e^[j(y – z)] | j² = -1 *: феноменологична среда (= ковариант), онтологична фуния (= инвариант); собственото тяло се явява при душевен автоморфизъм (критерият).

    (2) Тензорно (отвъд тензора ***) пространство, чрез Уточнителното уравнение **: онтологична среда (= инвариант), феноменологична фуния (= ковариант); собствената душа се явява при плътски автоморфизъм (критерият).

    ----------

    * Спинор, отворена структура, че e^(x + t), 

пространството и времето се раздуват в мащаб,

та енергиен поток се насъбира в направление,

пък усуквайки се напречно и дважди надлъжно,

за да се върне при себе си.

    ** c, скоростта на разпространение

→ 4π/c², енергията на затворения сферичен ъгъл

→ 8π/c⁴, енергията на затворения спинорен ъгъл;

G, пълнежът на затворения спинорен ъгъл,

пък енергийната плътност (E) 

е възвратното просветление, 

че отхапващото напрежение (U) 

е моментният ефект от 

съприкосновяващи се 

съпротивляване (W) 

и сумарно деформационен поток (V),

получава се уравнението, тензорът, затворена структура

                                      [E     Vx    Vy   Vz]

                                      [Vx  Wx Uxy Uxz]

                                      [Vy Uyx  Wy  Uyz]

[∂/∂(ct) ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z] [Vz Uzx Uzy   Wz] (8π/c⁴) G = 0; 

t, време; та пространството в тензора е времево.

    *** Несиметрия: превъзходство по пълнота на спинора.

    (II) Война и мир

(1) d{[e^(x + t)] e^[j(y – z)]}/d(y-z) = j [e^(x + t)] e^[j(y – z)]

→ спинорът се (войната) затваря прибрежно, мирът.

                                                 [E     Vx    Vy   Vz]                   

                                                 [Vx  Wx Uxy Uxz]                  

                                                 [Vy  Uyx  Wy Uyz]                   

(2) ∫∫∫∫ [∂/∂(ct) ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z] [Vz  Uzx Uzy  Wz] (8π/c⁴) G d(ct)dxdydz

         [0 0 0 0]

         [0 0 0 0]

         [0 0 0 0]

= ∫∫∫∫ [0 0 0 0] d(ct)dxdydz.

Нулевата матрица е структура → Гравитационното уравнение

                                      [ct 0 0 0] [∂/∂(ct)]*

                                      [0  x 0 0] [∂/∂x    ]

                                      [0  0 y 0] [∂/∂y    ]

[∂/∂(ct) ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z] [0  0 0 z] [∂/∂z    ] 

                   [E      Vx   Vy   Vz]**           [-1 0 0 0]***

                   [Vx  Wx Uxy Uxz]               [ 0 1 0 0] 

                   [Vy  Uyx  Wy Uyz]               [ 0 0 1 0] 

= (8π/c⁴) G [Vz  Uzx Uzy  Wz] + Const [ 0 0 0 1]; Const > 0.

Const показва, че при гравитацията 

вселената се разширява ускорително (ускорително,

защото при съдината става дума за антигравитация).

Тензорът се (войната) отваря безбрежно (Const = ?!), мирът.

* Гравитационна структура.

** Гравитационно разпределение.

*** Гравитационна съдина.

Време и време

       t, времето; j² = -1.

Оцветеното нещо е инвариант:

∫∫√[x(t)² + y(t)²] е^{j arctan[y(t)/x(t)]}dx(t)dy(t)

= - j {[x(t)² + y(t)²]/3} √[x(t)² + y(t)²] е^{j arctan[y(t)/x(t)]}, вектор.

Цветното нищо е ковариант:

 ∫∫∫[e^(x + t)] e^[j(y - z)]dxdydz = [e^(x + t)] e^[j(y - z)], спинор.

Тензорът е починът за векторен ковариант,

пък ковекторът е разюзданият тензор.

Гмуркане

       (I) Вечният възврат

       Че конструктивните координатни единици са линейни, сумата им е векторна; структурните са квадратични, сумата им е пространствена.

И ето я структурата.

Нека дънната, основната Евклидова равнина е с координатни оси y и z. 

И нека съответните им единици са:

         [0  -1]            [1   0]

σy = [        ] и σz = [       ].

         [1   0]             [0 -1]                                                                                           

И нека височинната Евклидова ос е x 

                                                        [1 0]

с единица по подразбиране σ0 = [     ].

                                                        [0 1]

σ0 се оказва успоредна със σz. И се въвежда в отлика за σz въображаем коефициент, чийто квадрат е -1 → j² = -1 → j σz.

Единичното пространство е σ0 + (σy + j σz).

Въвеждат се осовите изменения, че ∂/∂x σ0 + (∂/∂y σy + j ∂/∂z σz).

Въвежда се скоростта на осовите изменения, че 

v ∂/∂x σ0 + (v ∂/∂y σy + j v ∂/∂z σz).

Разпространението трябва във времето да се отмества спрямо своята основа; ами (v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 + (v ∂/∂y σy + j v ∂/∂z σz).

Основата не може да се установи, освен като въображаемо се върти с период T, тоест измененията в основата се кръстосват, понеже основата се върти, че 

(v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 + [v ∂/∂z σy + j (v ∂/∂y + 2π/T) σz].

Явява се функция, че {(v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 + [v ∂/∂z σy + j (v ∂/∂y + 2π/T) σz]} 

ψ(x, y, z, t).

Структурата произхожда от функционалното зануляване, че 

{(v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 + [v ∂/∂z σy + j (v ∂/∂y + 2π/T) σz]} ψ(x, y, z, t) = 0.

Колкото по-малък е периодът, толкова по силен е структуриращият натиск на зануляването.

Та в сферичен натиск придвижваща се по и въртяща се около ос равнина: получава се от оня свят едно кълбово с период 2T усукване, което се нарича спинор.

                               [1 0]           [0 1]          [0  -1]          [1   0]

Базисът σ0 = [      ], σx = [     ], σy = [       ], σz = [       ] се нарича

                               [0 1]           [1 0]          [1   0]          [0  -1]

Матрици на Паули (със σy без j и с разширение σ0).

       Пък уравнението се нарича Уравнение на Дирак (без маса).

       Решение, ψ(x, y, z, t) = e^[(x + vt) ± j (2π / vT) (y - z)]; 

±, спин; v, свежда се в ковариация:

(1) че в (спинорна) структура енергията (ψ)

се пространствено (x, y, z) разпределя 

по експоненти във времето (t),

енергийна плътност;

(2) нормализация (x + vt), 

общото време клони към безкрайност 

заедно с общото пространство;

(3) та енергийната плътност във времето 

е валидна съотносително, нежели абсолютно;

(4) съотносителността е циклична (2T);

забележка, e^[j (2π / vT) (y - z)] внася ориентация на точка.

Естествени единици: v = 2π / vT = 1 | +

→ ψ(x, y, z, t) = (e^x) (e^t) e^[j(y - z)],

равнината yz е по цялото протежение на оста x.

Та ψ(x0, y0, z0, t) е енергията в (x0, y0, z0)-точка, 

но e^x0 е интензитетът на енергията * в тази точка,

че e^[j(y0 - z0)] е ориентацията на енергията ** в тази точка,

пък e^t е фазата текущо на енергията *** в тази точка (с период 2T ****).

* Яркостна характеристика.

** Пространствена характеристика.

*** Спектрална характеристика.

**** e^[j(y - z)] хомогенизира потока (e^x) (e^t),

който за целта трябва да се завърти хем напречно,

хем надлъжно, а надлъжното, за да се завърне, се затваря през 2T 

(виж Ницше, "Воля за власт", фр. 1067, пр. Пл. Градинаров).

∑(i = 1, n) ψ(xi, yi, zi, t) = ∑(i = 1, n) {[e^(xi + t)] e^[j(yi - zi)]}:

във всеки момент от време се разкрива суперпозицията 

между длъжностни в (спинорна) структура състояния,

а всеки екип от състояния принадлежи на (спинорна) структура.

       (II) Или амплитуда, или ковариант

       (1) Comb, бройката на комбинациите.

Брояч: n^k; ... 2, 1 = k ≤ n = 1, 2, ...

Брояч без повторение: n(n-1)(n-2) ... (n-k+1).

n(n-1)(n-2) ... 1 

= [n(n-1)(n-2) ... (n-k+1)] [(n-k)(n-k-1)(n-k-2) ... 1]

→ [k(k-1)(k-2) ... 1] Comb = n(n-1)(n-2) ... (n-k+1)

= [n(n-1)(n-2) ... 1] / [(n-k)(n-k-1)(n-k-2) ... 1]

→ Comb 

= [n(n-1)(n-2) ... 1] / {[k(k-1)(k-2) ... 1] [(n-k)(n-k-1)(n-k-2) ... 1]}.

       (2) Равнина: k = 2, координатни оси 

→ Comb = n(n-1)/2, бройката на равнините

с брой координатни оси n.

       (3) Координатни оси изчерпателно: Comb = n → n = 3

→ (изчерпване, кватернион) a + ib + jc + kd 

= √(a²+b²+c²+d²)e^{[(ib+jc+kd)/√(b²+c²+d²)]arctan[√(b²+c²+d²)/a]}; 

i² = j² = k² = ijk = -1.

       (4) Изчерпателност, спинор (t, време): p² = -1; [e^(x + t)] e^[p(y - z)] 

= √(a²+b²+c²+d²)e^{[(ib+jc+kd)/√(b²+c²+d²)]arctan[√(b²+c²+d²)/a]}; 

i² = j² = k² = ijk = -1

     | e^(x + t) = √(a²+b²+c²+d²)

→ | p = (ib+jc+kd)/√(b²+c²+d²)

     | y - z = arctan[√(b²+c²+d²)/a].

       (5) Деконструкция: y - z = arctan[√(b²+c²+d²)/a]

→ sin(y-z)/cos(y-z) = tan(y - z) = √(b²+c²+d²)/a;

инфлексия на изменението, tan(y-z) = tanh(y-z) = sinh(y-z)/cosh(y-z)

→ √(b²+c²+d²) = [e^(y-z) - e^-(y-z)]/2 | a = [e^(y-z) + e^-(y-z)]/2

     | e^(x + t) = √(a²+b²+c²+d²)

→ | p = (ib+jc+kd)/√(b²+c²+d²)

     | √(b²+c²+d²) = [e^(y-z) - e^-(y-z)]/2

     | a = [e^(y-z) + e^-(y-z)]/2.

       (6) Хиперболичен разбор:

| e^(x + t) = √(a²+b²+c²+d²), мащаб

| p = (ib+jc+kd)/√(b²+c²+d²)

| √(b²+c²+d²) = [e^(y-z) - e^-(y-z)]/2

| a = [e^(y-z) + e^-(y-z)]/2

| i² = j² = k² = ijk = -1 = p²

→ a + ib + jc + kd = cosh(y-z) + p sinh(y-z), антивектор;

i² = j² = k² = ijk = -1 = p².

       (7) Инфлексия на изменението, tan(ψ) = tanh(ψ); c = d = 0 

→ a + ib = cosh(ψ) + i sinh(ψ) = cos(ψ) + i sin(ψ) = e^(iψ), вектор; 

i² = -1; ψ = arctan(b/a).

Векторът служи, за да се конструира n-мерно пространство.

       ----------

       Та спинорът е с формат [e^(x + t)] e^[j(y - z)] *;

векторът е с формат **√(x² + y²) е^[j arctan(y/x)]; 

j² = -1; t, време.

* ∫∫∫[e^(x + t)] e^[j(y - z)]dxdydz = [e^(x + t)] e^[j(y - z)], 

ковариант (яснота).

** Амплитуда (мътност):

че ∫∫√(x² + y²) е^[j arctan(y/x)]dxdy

= - j [(x² + y²)/3] √(x² + y²) е^[j arctan(y/x)];

векторът сочи в мащабно съответствие вградена в равнината точка,

чийто радиус на вграждане е √(x² + y²).

Симетрия, (x² + y²) / √(x² + y²) = j3:

√(x² + y²) е^[j arctan(y/x)] → - j [(x² + y²)/3] е^[j arctan(y/x)].

Околният натиск

                                  [  a     c-jd] [0 1] [  a     b-jc] **   [  z    x-jy]* 

1, Хопф) j² = -1; r = [                ] [     ] [               ]   -   [               ]   

                                  [b+jc d+ja] [1 0] [c+jd d-ja]        [x+jy  -z  ]

   

= (2ac + bd) σ0 - (cd - bс - ad + x) σx + j (a² + bd + c² + y) σy - (bd + z) σz,

квазисфера на диференциално усукване, фаза на усукване; 

с базис (Паули):

        [1 0]           [0 1]           [0 -1]          [1   0]

σ0 = [     ]; σx = [     ]; σy = [       ]; σz = [       ].

        [0 1]           [1 0]           [1   0]          [0 -1]

                 [0 1]***        [ψ1(r, t)]           [ψ1(r, t)]         [-j 0 ] [ψ1(r, t)] ****

2, Дирак) [     ] ∂/∂(r/v) [            ] - ∂/∂t [            ] = ω [       ] [            ]

                 [1 0]              [ψ2(r, t)]           [ψ2(r, t)]         [ 0 j ] [ψ2(r, t) ]

→ {(v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 + [v ∂/∂z σy + j (v ∂/∂y + ω) σz]} ψ(x, y, z, t) = 0,

от оня свят.

В сферичен (вместо маса) натиск ω

придвижваща се (v ∂/∂x - ∂/∂t) σ0 по 

и въртяща се v ∂/∂z σy + j (v ∂/∂y + ω) σz около 

ос x равнина yz ≡ спинор. 

----------

* Комплексна сфера.

** Актуалното противонаправление се представя във въображаема сфера, 

която е структурирана по своите три реални оси.

*** Спънато разпространение.

**** Усукване.

Partners in Crime vs. Common Ground. 

Че ковариантно вместо инвариантно предлагане.

The Spin 1 Problem

    Спин (= спин 1/2): 

центърът на спинора е въображаем,

периферията - комплексна,

съдържанието - тороидално.

    Неспин:

центърът на спинора е честотен,

перферията - енергийна,

съдържанието - точково.

    Това, второто, наричат "спин 1",

защото "ако за да измеря нещо, 

въртя нещо, казвам, че измерваното се върти".

    Спин 1/2 е математически феномен, 

пък "спин 1" - езиков.

    "Двата свята" се срещат в "света на езика". 

    Въпросът е:

как е възможен език в света на математиката?

Тоест как е възможна математиката?

Ами никак иначе освен от оня свят.

    P.S. Битува из аудиоинженерството 

The Pin 1 Problem: 

щото трябва ли да се раздели масата от земята.

От оня свят: геният на Heinz Hopf

Обръч. Надлъжното въртене е по напречната ос, пък напречното въртене е по надлъжната ос. Но ето че напречното въртене убягва в надлъжното въртене, 

освен ако напречното въртене, ах, не е тороидално. Тоест напречният период, оказва се, е по-голям двойно отколкото надлъжния, щом двете ъглови скорости помежду си са еднакви. Ами с това ъгловата скорост не е параметърът на въртенето, а е инвариантът на въртенето. Защото, да, онова въртене, към което тук става дума, е периметрично, нежели параметрично. Инвариантът отпада. Обръчът отпада. Направленията отпадат. Иде реч в кълбово усукване. Та ъглова скорост напречно и с радиус надлъжно: че ъглова скорост надлъжно и с радиус напречно. Противостоят си статично вместо периодично. И се като в пред една и съща граница помещава помежду им ковариантът на дисконтинуиран кълбовъртеж. Спинорът (Paul Dirac, 1928) ... Който ковариант пък съответства на гладко слоеста сферично 4D-структура, нежели конструкция: няма граница, няма център, няма прекъсвания. Heinz Hopf (1931) за всеки слой. 4D: a² + b² + c² + d² = 1 ↔ 3D: x² + y² + z² = 1 | x = a² + b² - c² - d²; y = 2(ad + bc); z = 2(bd - ac). Изоморфни са 4D и 3D, защото феноменологично са от взаимосподелен порядък.

[  z    x-jy]    [  a     c-jd ] [0 1] [  a     b-jc]

[              ] = [                ] [     ] [               ]; j² = -1.   

[x+jy  -z  ]    [b+jc d+ja]  [1 0] [c+jd d-ja]

Re -> Im (огледалните матрици): 

11 -> 22 -> -12 -> 21;

11 -> -22 -> 21 -> -12. 

Лявата част на уравнението е комплексна сфера; дясната част на уравнението е, 

че актуалното противонаправление се представя във въображаема сфера, която е структурирана по своите три реални оси... Че спинорната геометрия на Дирак е погледът отвътре, а погледът на Хопф е отвън. Понеже извън поглед всяка точка от комплексната сфера е окръжно съзерцание във въображаемата сфера. Че фазата върху 3D-сферата е външна и е точка; а съответната фаза върху 4D-сферата е вътрешна, централна окръжност е... Спинорът гранично е комплексна сфера. 

На всяка окръжност от тази вътрешно поглеждана граница отговаря отвън един поглеждан торус съобразно фазата и мащаба на окръжността. И всеки такъв торус слиза от сферата на висшето съзерцание. А точка не може да бъде ковариантен обект, освен като торус. Защото по двата гранични ръба на торуса няма свиване или разтягане и всеки два контурни шева на торуса могат да бъдат двата гранични ръба: торусът не изкривява при себе си допълнително пространството - изкривява го сферата.

ChatGPT (14 окт.' 2026): "Да, те са се познавали лично. Макар и да идват от различни полета: че Хопф е чист математик-тополог, а Дирак - теоретичен физик. 1927 - 1928. Пол Дирак отива в Гьотингенския университет точно когато Хайнц Хопф прекарва там една година. А по това време математическата и физическата общност са неделими и двамата редовно посещават общите семинари в кръга около Давид Хилберт. Та точно в този период Дирак публикува релативистичното си уравнение, въвеждащо спинора. 1928 - 1929. Хопф работи в Принстън по покана от Освалд Веблен, а Дирак също пребивава там, но като гост-лектор. Двамата се срещат ежедневно на традиционния следобеден чай в департамента по математика, който тогава е място за обмен между учените. 1931. Хопф публикува своята знаменита формализация 3-сфера къмто 2-сфера."

Дирак:

Хопф:

Изборът под условие

(1) t, времето; c, скоростта на разпространение. 

(2) d'Alembert (1746): ∂²ψ(x, t)/∂(x/c)² - ∂²ψ(x, t)/∂t² = 0; x, точка

→ 0, кълбова осцилация → изискване за колебателна кълбово честота.

(3) Klein-Gordon (1926): ∂²ψ(x, t)/∂(x/c)² - ∂²ψ(x, t)/∂t² = ω²ψ(x, t); x, кълбо

→ ω, уж скорост на кълбово усукване поради (накъде) изискването.

Но Аксиомата на избора (Zermelo, 1904) е недостатъчна,

за да се определи кълбово усукване, тоест ω²ψ(x, t);

и ето че квадратичната форма

трябва въображаемо да се разцепи* на две линейни противоформи 

как зърнесто кълбо се отделя спрямо своя гладка периферия.    

                            [0 1]**           [ψ1(x, t)]           [ψ1(x, t)]      * [-j 0] [ψ1(x, t)] 

(4) Dirac (1928): [     ] ∂/∂(x/c) [             ] - ∂/∂t [             ] = ω [      ] [            ]; j² = -1;

                            [1 0]               [ψ2(x, t)]           [ψ2(x, t)]         [ 0 j ] [ψ2(x, t)]

x, сфера → ψ(x, t) = e^[±j(ω/2)(x/c - t)], фазорен ступор (±).

Тръгва се от фазорния ступор, за да е възможно, 

щото Даламберовата точка да се избира:

но въпросът е да се тръгне;

а тръгването е спинор,

спинорът е разслояването предвид фазорния ступор.

** Спънато разпространение.

Неаксиоматичната аксиома

"Imagine a set Y whose elements A, B, C... are themselves sets, which possess no common elements and are also not empty. Then the union of these sets contains at least one subset M which has exactly one element in common with each of the sets A, B, C..." Ernst Zermelo, 1904; tr. Stefan Bauer-Mengelberg (1967). Прочутата Auswahlaxiom, Аксиомата на избора... Съждение (никакво твърдение, нито описание, камо ли интерпретация): пространственият спинорен параметър е периметричен, статичен, бидейки едно и също с линейната спинорна, нежели на спинора скорост, чиято пък, на линейната спинорна скорост, промяна е, разбира се, във времето, макар не с ускорение. F(x) = ∑(i = 2, n(x)) Yi(x) = const (с ковариант, тоест никаква конструкция, нито инвариант, камо ли преход); Yi(x) > 0 ⇒ min{∑(i = 2, n(x)) Yi(x)/Yi(x - Δx) - √[(∑(i = 2, n(x)) Yi(x)/Yi(x - Δx))² - ∑(i = 2, n(x)) (Yi(x)/Yi(x - Δx))²]} ⇐ max[Yi(x)/Yi(x - Δx) ≃ Yj(x)/Yj(x - Δx)]; Yi(x - Δx) > 0; i ≠ j; i, j = 2, 3, ... n(x). Едва сега е възможна, вместо наложителна Аксиомата на избора, дивергентен ход, нулевата спинорна скорост: Δi = 1; [Y(x)/Y(x - Δx) ≠ 0] lim(n(x) → ∞) {n(x) - √[n(x) (n(x) - 1)]} = 0 ± 1/2 {n - √[n (n - 1)] = 1 / [1 + √(1 - 1/n)]; Δi; lim(n → ∞) 1/n ≠ 0}.

Бюджетното усвояване: кой предлага

    (1) Какво се търси да се предложи. Постановка: че в ситуация x има ситуативен продукт, който, за да се произведе, изисква една точно определена пропорция от n(x) ≥ 2 броя безостатъчни консумативи (нежели някакви ресурси, тоест Леонтиев е неприложим); всеки консуматив i от тази (каквато и да е) пропорция участва със съвкупна себестойност Yi(x - Δx) > 0, ала се купува по (каквато и да е) пазарна цена откъм следния непрекъснат бюджет: F(x) = ∑(i = 2, n(x)) Yi(x) = const 

(с ковариант); Yi(x) > 0 ⇒ ∑(i = 2, n(x)) Yi(x)/Yi(x - Δx) = const (с ковариант) ⇒ min{∑(i = 2, n(x)) Yi(x)/Yi(x - Δx) - √[(∑(i = 2, n(x)) Yi(x)/Yi(x - Δx))² - ∑(i = 2, n(x)) (Yi(x)/Yi(x - Δx))²]} ⇐ max[Yi(x)/Yi(x - Δx) ≃ Yj(x)/Yj(x - Δx)]; i ≠ j; i, j = 2, 3, ... n(x). Но пълно усвояване на бюджета не би се случило иначе освен при (а и би се случило теоретически) [Y(x)/Y(x - Δx) ≠ 0] lim(n(x) → ∞) {n(x) - √[n(x) (n(x) - 1)]}, което пък, понеже Δi = 1, е 0 ± 1/2 (1/n съдържа неопределеност на граничния уклон *); има как n(x) при Yi(x)/Yi(x - Δx) ≠ Y(x)/Y(x - Δx) да върви към ∞, но няма как да клони към ∞.

    (2) Какво се предлага да се потърси. F(x) ≥ ∑(i = 2, n(x)) Yi(x).

    * n - √[n (n - 1)] = 1 / [1 + √(1 - 1/n)].

Мила приказка

Парите, стоката, парите, стоката... Стоко-паричният оборот нима е верижен. 

Ами противопоток е. Нулевата сума се утаява в продоволствен праг. Над който пък стока се явява в парично огледало. Утвърждава се покупателна способност. Цените атрактивно се повишават. Изчерпва се огледалото. И помръква. Стока остава непокрита. Начисляват се парични знаци, за да я покрият. Пито - платено. Пицата става все по-блажна. И все по-разслоена. Но стоко-паричният противопоток не произхожда счетоводно. И е с производствен произход. Че паричната вихрушка издига икономиката високо, високо над пицата. За да се забърка икономиката там, да, в адския котел на производството. "Strong winds, magic mist, to Asgard the valkyries fly, high overhead they carry the dead where the blood of my enemy lies" (Manowar, "Blood of My Enemies"). "Feel the thunder and the frenzy, and see all the unusual animals. And the animals? Well, they're something else." (W.A.S.P., "The Big Welcome".)