Количеството като съдържание

I. Аритметика:
    (1) ± количества;
    (2) "- (-)" = "+".
 
(!) Множество & аритметичната техника:
    сумиране & изваждане;
    произведение & деление;
    степенуване & коренуване;
    ----------
    работа със скоби;
    сравняване & функция;
    ----------
    правоъгълен триъгълник;
    вектори.
 
II. Допълване до точен квадрат (стъпки):

    (1) x² - x + 1 = 0;    
    (2) x² - x = - 1;
    (3) x² - x + 1/4 = - 1 + 1/4;
    (4) (x - 1/2)² = - 1 + 1/4;
    (5) x = [1 ± √(-3)] / 2.
 
?: ±√(-3), преходът аритметика → алгебра.
 
III. Основната теорема на алгебрата (Гаус).
 
(1) Алгебричните корени са x₁, x₂, ... x_n (?): 

    0 = ∏_i=1ⁿ (x - x_i) =

    = xⁿ - (x₁ + x₂ + ... + x_n) x^n-1 +
    + (x₁ x₂ + x₁ x₃ + ... + x_n-1 x_n) x^n-2 -
    - ... + (-1)ⁿ (x₁ x₂ ... x_n) =

    = xⁿ + ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱs_ix^n-i (Многочленът),
 
        |s₁ = x₁ + x₂ + ... + x_n
        |s₂ = x₁ x₂ + x₁ x₃ + ... + x_n-1 x_n
        |...
        |s_n = x₁ x₂ ... x_n.
 
(2) xⁿ + ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱs_ix^n-i = 0 ↔ ∏_i=1ⁿ (x - x_i) = 0.
 
(3) x₁, x₂, ... x_n са корените на уравнението xⁿ + ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱs_ix^n-i = 0.
 
(4) xⁿ + ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱs_ix^n-i = 0 ↔ xⁿ = - ∑_i=1ⁿ (-1)ⁱs_ix^n-i, x = {x₁, x₂, ... x_n}.
 
IV. Алгебричният комплекс (Ойлер, въпреки че Гаус е по-късно).
 
(1) Оптика: алгебричните корени са равнинни координации с фронтална и направленческа ос: ами спрямо ± височина, на която лявата и дясната страна на "III.4" се пресичат.
 
(2) Оптика: пресичането в "1" се реализира чрез едновременно в една и съща посока завъртане около вертикала, понеже това завъртане се представя чрез едновременно изправяне на степенна функция през нулата (ляво) и на сбор от степенни функции през нулата (дясно), а пък интензивността на изправянето е пропорционална на степента.
 
(3) Пресичанията от "2" се тълкуват през "III.4".
 
(4) Фронталната ос се нарича реална (Re), направленческата - имагинерна (Im), пресечието им - нула, равнината им - комплексна.
 
(5) Системата уравнения "III.1" изисква:
    равнинни координации се съ-бират,
    като се сумират съответно координатите им,
Re + j Im; j, имагинерната единица, положителна е;
    ----------
    равнинни координации се у-множават,
    като се "запратят" в съ-впадение,
    т.е. това е произведение от отстоянията (спрямо нулата)
    & сума от ъглите (спрямо реалната ос),
[Re(x₁) + j Im(x₁)] [Re(x₂) + j Im(x₂)] =
= [Re(x₁) Re(x₂) + j² Im(x₁) Im(x₂)] + j [Re(x₁) Im(x₂) + Re(x₂) Im(x₁)] → j² = -1.
    Примерът "II": ±√(-3) = ±√[(-1) 3] = ± √(-1) √3 = ± j √3.
 
(6) Векторната функция: ами "e" е такова количество, че при комплексен ъгъл φ:
сглобява се e^jφ = cos(φ) + j sin(φ).