Определение за траектория

(виж фрагмента ми "Определение за точка": link)
 
            Пътят на точка без външно действие. И ето го елементарния пример: "брахисто-хроната". Понеже сякаш между началната и крайната позиция на пуснатото в близост до Земята да пада тяло има хоризонтална координата "r" заради:
            (I) без външно действие, та T(r) = mv²(r) / 2 = mgy(r) = V(r) → v(r) =             = √[2gy(r)];
            (II) континуалността, че v(r) = √[(dr)² + (dy)²] / dt = √[1 + (dy/dr)²] dr/dt =
= √[1 + v²(r)] dr/dt;
            ("I"&"II") dt/dr = √{[1 + v²(r)] / 2gy(r)} → t(r) = ∫√{[1 + v²(r)] / 2gy(r)}dr;
            (III) Δt(r) = ∫_r1^r2√{[1 + v²(r)] / 2gy(r)}dr → L = √[(1 + v²) / 2gy],
интервалът от време в равностояние съотносно интегритета от действието.
            Ами уравнението на лагранжиана, ∂L/∂y = d∂L / dt∂v (v = dy/dt) →
→ ∫(∂L/∂y)dy = v ∫(d∂L / dt∂v)dt → L - v ∂L/∂v = const (произволна) →
→ √[(1 + v²) / y] - (v/√y) ∂√(1 + v²)/∂v = const →
→ √(1 + v²)/√y - v²/√[y(1 + v²)] = const →
→ 1 / √[y(1 + v²)] = const →
→ (1 + v²) y = 1/const² → [1 + (dy/dt)²] y = h → dy/dt = √[(h - y) / y].
            t = f(y) → dt/dy = tg(ψ) = √[y / (h - y)] →
→ y = h tg²(ψ) / [1 + tg²(ψ)] = h sin²(ψ) → (1) dy/dψ = 2h sin(ψ) cos(ψ) &
(2) dt/dψ = (dy/dψ) (dt/dy) = 2h sin(ψ) cos(ψ) tg(ψ) = 2h sin²(ψ) = h [1 - cos(2ψ)] →
→ t = h ∫[1 - cos(2ψ)]dψ = (h/2) [2ψ - sin(2ψ)] = (h/2) [φ - sin(φ)] →                         → y = (h/2) [1 - cos(φ)].

            {t = (h/2) [φ - sin(φ)]} & {y = (h/2) [1 - cos(φ)]}.
Циклоида с централен ъгъл "0 ≤ φ ≤ π" и център "(h/2)φ, h/2".
          Дълбочината на умозрението.